忙しい中でもパーティーをもっと楽しくするには

少し前のことですが。

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小さい方の怪獣さんの誕生日ケーキ。
スポンジケーキを2つに割って、その間と上を大きい方の怪獣さんと奥様とでデコレーション。
イチゴが好きじゃないのでレーズンと煮リンゴ、ゴールデンキウイを飾りました。

奥様は「スポンジが市販のものでごめんね」と言うけれど、何の問題がありましょうか。
お母さんとお兄ちゃんが飾りつけしてくれたケーキなんて世界に一つだけ。最高だろ!

お誕生日おめでとう。



飾りつけだけで構わない、自分たちでやってみよう!

スポンジから作るのはちょっと大変だけれど、市販のスポンジと冷凍生クリームなら、ぐっとハードルが下がる。
一緒にやれば、子どもでも手伝えるはず。
お祝いする方もされる方も、きっと思い出に残るのでオススメします!


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ちなみにこっちはじいちゃんばあちゃんのウチで食べたケーキ。(こっちはお菓子屋さん)

やっぱプロは凄いけど、どっちも美味しい!

駅のベンチ。

2018/07/06

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ローカル線、流鉄流山線の終点流山駅構内。

別に鉄ちゃんとかそういう要素は持ちあわせてないんだけど、

なんか味があるな~って。

リリアン アクス  [シー ライクス イット オン トップ]

 

きましたよ。このバンドが。

LAメタルの中堅バンドだが、この曲はいいですよ。

この時代のLAメタルのポップメタルの中では、この曲がピカイチ。

89年発売の2枚目のアルバムからの曲。

ラブ アンド ウォーというアルバムです。

結構マニア的なアルバムだが、知ってる人はガッツポーズかな。

1枚目もまずまずだった記憶があるが残念ながら売ってしまった。後から後悔。

ただこの曲は特にいい。

このバンドもこの曲が特別で、オススメして、がっかりされる事はないかな。

自信曲。

これはYouTubeで聴いてもらいたい。

探してください。

人生変わりますよ。

ハイトーンでもかすれ系でもない声だが、曲にあっている。

アルバムの中では他の曲の方が評価が高いが、個人的には、何故この曲じゃないのとツッコミ入れたい。

いいメロディなのになー。

僕たちの生きている世界では過去はすでになく、未来はまだ存在せず、今はその瞬間だけそこにあるけどすぐに過ぎ去ってなくなる。

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だから僕は過去を振り返らず、未来を憂うことなく今この瞬間を大事に生きたいと思っているんだ。それはある意味で刹那主義。

以前にもこんなことを書いている。 

kun-maa.hateblo.jp

 

基本的に考え方はずっと変わらないようで、読み返してみてもいま考えていることと同じようなことを書いている。ブレないなあ。

既に過ぎ去った過去や、これから訪れる未来を思い煩ったところで仕方がないということは周知の事実。

それらは自分の意志や努力だけで変えられるものではないし、すべてのことを自分でコントロールできない以上、いわゆる「幸せ」なんてものは、今だけに注目する「刹那」の積み重ねでしか得ることはできないはずです。

過去は絶対に変えられないし、未来だって確実に自分の思いどおりにはならないのですから。

今を精一杯生きること、つまり「刹那主義」で生きることで人は「幸せ」を手にすることができます。たぶん。

 

ところが今日仕事中にフッと思ったんだ。

もしかして過去は視座を変えればそこに存在しているんじゃないかってことを。

そんなこと考えてないでちゃんと仕事に集中しろって話なんだけどね。全然今を大事にしてないじゃねーかと。でも考えちゃったものはしょうがない。妄想は膨らむ膨らむ。

それは例えば過去は人の記憶に残っているんだぜ!とかそういう意味じゃなくて、自分でもちゃんと整理できてないんだけど、空間的というか距離的というかなんかそんな感じの話。

 

光の速さは秒速29万9792.458kmってもう速すぎてなんだかよくわからないんだけど、光が1年かかってたどり着く距離を1光年っていうんだよ。あ、知ってた?

理科で習ったような気がするでしょ。僕はすっかり忘れていたからググったけど。

1光年って距離に直すと9兆4600億kmなんだって。もう想像もつかないよ。

だからさ、例えば地球から8.7光年先にある「おおいぬ座」のシリウスから地球を見ることができたとしたら、そこには8.7年前の地球が存在しているわけ。

それをもっともっと広げていって地球から100光年の位置から地球を見ることができたとしたら、そこには100年前の地球の出来事が存在しているってことだと思うんだけど違ったらごめんね。まあそういうことにしないと妄想の根底が崩れる。

 

そんな感じでどんどん妄想していったら、もしかして未来さえも同時に存在することが可能なんじゃないかって思えてくるんだよね。不思議なことに。だって過去が現在と同時に存在するなら逆もあるって思うよね。理屈はわからんけど。

僕は高校で物理を含めた理系科目を全く勉強しなかった完全文系人間。そっち方面の難しいことはさっぱりわからないから、もしかしてそんなの常識だよって言われちゃうのかもしれないけどさ。

さっきの100光年先から地球を見ることができたとしたらっていう例みたいに、空間の存在が過去と現在と未来の同等性というか同時性というかそんなものを担保してくれるのだとしたら、自分の視座が異なることで過去も現在も未来も消え去ったりまだ現れなかったりしないで同時に存在することができるのかもしれないなんて思ったんだ。強いていえば光年を見越す視座。

 

過去も現在も未来も同時に存在する世界が幸せかどうかは悩ましいところだけどね。

幸せな出来事や愛おしい過去が消えてなくならないことはうれしいけれど、思い出したくない忌まわしい出来事も全てが存在することになるわけだから。

過去は存在するけど変えられないことは変わらないわけで。

 

現在と同時に存在する未来は現在の行動で刻一刻と変化していくのかもしれないけど、それでも未来がわかってしまうのはやっぱりいただけない。

結局、過去も現在も未来も同時に存在する世界があったとしてもそれは必ずしも幸せを意味するとは限らないんだなあってさ。

過去は消え去るからこそ今を生きていけるって部分はきっとあるんだろうと思うし、未来なんてやっぱり知りたくない。

 

グダグダと妄想していたことをそのまま整理しないで綴っちゃったけど、やっぱり僕は過去は消え去り、未来は未だ存在しないという今この瞬間瞬間をこそ大切にする刹那主義の世界で生きていたいんだ。

ここまで書いてきたのに身も蓋もない結論で申し訳ないけど。

過去も現在も未来も同時に存在する世界ってのもちょっとだけ見てみたい好奇心はもちろんあるんだけどさ。

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おはようございます!

うちのマンションの外壁の修繕が終わり、朝の日射しが部屋の奥までとどいてまぶしい朝を迎えています^^

今日の写真は、私のお気に入りのハワイでの1枚です。

天国の海という名の、ラニカイビーチへは、こんな小道を抜けていくのですが、

その先にキラキラ光る、エメラルドグリーンを見つけたら、こんな風に駆け出したくなるのもよくわかる^^

 

サーフィン部入部したものの、最近行けていないアラフォーサーファー。。

こんなきれいな海が近くにあれば、いつだって行くんですけどねー。

サーフィン部の先生に、「いつ行きますか?」って言われても、ひるんでしまう。

冬の海に飛び込む勇気が出ないけど、年内1回はチャレンジしてみようかな。。

 

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クリスマスのプレゼントに、

使う場所を選ばない、シーズンレスのビーチシックタオルを。

もらった人も驚くほどの、軽さと手触りです♡


 



 

 

 

 

 

 

K252  黄色い人  黄色い星  音5

 

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KIN252

『自分を満たすことができるのは自分しかいない。

そのため自らを「空」にする。

すべてを委ねまかせる。光と調和で満たされる。』

 

(古代マヤ暦「13の音」シンクロ実践編 越川宗亮著)

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「黄色い人」のエネルギー/自由意志を尊重する

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今日は「黄色い人」のエネルギーが影響します。

キーワード「自由意志」「こだわり」「道」「理解する」

自分の長所をつかって周りの人を照らしましょう。

人との関わり合いの中で成長する紋章です。

とても自由奔放なエネルギーです。

自分の考えの枠を外しましょう。

自分のこだわりを持ち、自由意志を尊重することで(型にはまらない考え方をすることで)、新しい進化・変化につながっていきます。

「黄色い星の13日間」5日目

音5の日。「中心を定める」キーワード「目標設定」

中心を定めスピードを加速させていく。  

音5の日は、覚悟を決める、腹を据えることで「底力」が発揮されます。

物事が動き出していく速度が一気に加速されます。

今日は目標設定をしましょう。

今日決めたことは、しっかりと次のサイクルに根付くことになります。

是非、プラスのイメージを持って、「決めてみる」ことをしてみてください。

 

 

「黄色い星の13日間」なので、日々断捨離決行中です。

私の場合、もともと断捨離大好きな上、2、3年前にミニマリスト宣言して、物をかなり厳選した生活を送っていて、身の回りはかなりスッキリしているのです。

それでも普段の生活で、毎日不要になったものは出てるのですよね。

情報やデータ類は特に多いですね。

メルマガが写真画像などは、読んで、見て、必要な部分は別途メモ機能に移し、削除。

それでも日々たまります。

物や服は、かなり少なくしたつもりでいましたが、数ヶ月経つと、当時はときめいて残していたものも、今現在はそうではなくなっていることがあるので、見直します。

特に季節の変わり目はでますね。

まだ暑いけど、そろそろ長袖と思ってクローゼットをみると、これもう消耗してる…。

と気づく訳です。

1シーズンだか、2シーズンだか頑張ってくれて有難う♡

といってサヨナラします。

昨日は、「有り難い」、そんな感謝あふれる日になりました。

今日はまた、マヤ暦の対面セッションが入っています。

宇宙の流れに乗って委ねてみます。

皆さんも、自分の持っている力を信じて行動してみてくださいね。

新しい展開や道が広がりますよ〜♪

 

インラケッチ!今日も素晴らしい一日を♪

 

 

 

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www.huffingtonpost.jp

日本的なコミュニケーションって、なんだか「正解」の形が決まっている気がしませんか?

企業が求めていること、社会の空気が求めていること、相手が暗黙のうちに求めていることにピッタリ合わせられる人こそが、あたかも"コミュニケーションの達人"であるかのような、そんな印象をこの一文からも受けます。

なんだかすごくわかる。教育の段階から「そういう言い回しは駄目」って決まった表現しか許されなくて。

 

一方で空気を読むことが重視される日本社会でありながら、コミュニケーションというと対面しての「喋ること」もやたら重視され、電話や奥ゆかしき伝統ある手紙はOKでメールやインスタントメッセンジャーはNGという歪さがある。
じゃあ、しゃべらないことやその場に「いない」こともコミュニケーションの表現の一つではないかなと思う。空気を読むということではなく、相手の真意を汲み取るという意味で(空気を読むことの教養にも繋がるかもしれないけど)
これは過去に読んだ平田オリザの著作に書いてあったことだけど。

社交不安障害持ちとしてはスラングとしてのコミュ障という言葉は嫌いではあるけど、色んな人に立場を利用して自分の意見を押し通そうとする人や失言した時に「それは自分の真意ではない」と言う政治家など、そういう人たちこそが本来的なコミュ障じゃないのかなと思う。

要する日本での「コミュニケーション」というものは強者・声のでかいだけの奴に対して周りがどう合わせるかという能力にすぎないのではないのかと。

僕は社交不安障害持ちの上に、過去の電話営業の経験から電話がものすごく苦手で対面しての話し合いよりも苦手です。(対面も知らない人と話すのはものすごく苦手です。派手な運動した時並に疲れます)
なのでメールなどの文字を使ったコミュニケーションの方が得意なつもりなのですが、世の中それは認めてくれなくて息苦しいです。
(両親は僕に気を使ってくれてるからか、家に僕しかいない時、固定電話に出なくていいって言ってくれます。平日は変な電話しかかかってきませんし、本当に用がある人は僕や両親の携帯にかけますしね)

やたらと「我々の言ってることに合わせろ」「長いものには巻かれろ」な性質の日本のコミュニケーションだけど、コミュニケーション能力をやたら従士する企業の人達に聞いてみたい。
「あなた達は社交不安障害という病をどう思いますか?」

|恋愛小説r18

2018/04/09

小説r18は、為になるな〜


処女なのに…http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7604278.html私は大学生で、処女なのに R18小説や漫画を描いてます… 最近思うのですが、経験がないのにR18を描くなんて、おかしいのかなぁ?と。 想像で描いてるわけですが、やはり経験ないと分から...

出会いを追い求めるなら、目を伏せるのは終わりにして、常に相手の目を見てにこやかな表情を練習することが重要です。両方の口角をやや上向きにすれば、他人からの評価は自分で思う以上に好転します。
それほど意味深に「出会いのシチュエーション」を定めるように言いましたか?「どんなに頑張っても無理でしょう」という推察が成り立つ取引でも、計らずも素敵な恋につながる可能性もなきにしもあらずです。
「出会いがない」などと荒んでいる社会人たちは、真実は出会いがないというわけでは絶対になく、出会いを自ら避けているとも認知できることは事実です。<
BR>彼氏・彼女が欲しいと仮想しても、出会いがないなどと悲しがっているとすれば、それは自分が知らぬ間に設けた理想を具現化した人とリアルに出逢うための方法が妥当ではないと推測されます。
「何故だろう、僕に恋愛相談をお願いしてくる」という事象だけに喜んでいるのではなく、様子を隅々まで確認することが、その人間とのかかわり合いを持続していく場合に必須です。





【黒バス】高緑(社会人のお話)R18 BL小説 朗読劇 〜 遅咲きの片恋




こんにちは,ぱいです.

最近おもしろいと思ったことを書きます.

 

 

このごろディリクレ級数と呼ばれる級数を勉強しています.

ベキ級数と似た性質やびみょーに異なった性質とかがあって面白いので,ディリクレ級数の話を書く前にベキ級数の話をざーっとおさらいしておきます.

 

 

 数列 ${a_{n}}_{ninmathbb{N}}$ に対して $displaystyle sum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n} (zinmathbb{C})$ をベキ級数といいます.

 

$z_{0}inmathbb{C}$ に対して $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z_{0}^{n}$ が収束するとき,${a_{n}z_{0}^{n}}_{ninmathbb{N}}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $ninmathbb{N}$ で $|a_{n}z_{0}^{n}|<C $ となります. 

このとき任意の $zinmathbb{C}, ninmathbb{N}$ でegin{eqnarray}displaystyle|a_{n}z^{n}|&<&Cleft|frac{z}{z_{0}} ight|^{n}end{eqnarray}

なので,egin{eqnarray}displaystylesum_{ninmathbb{N}}|a_{n}z^{n}|&<&sum_{ninmathbb{N}}Cleft|frac{z}{z_{0}} ight|^{n}end{eqnarray}となります. よって,$displaystyleleft|frac{z}{z_{0}} ight|<1$ つまり $|z|<|z_{0}|$ ならベキ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は絶対収束します.

そこで,$displaystyle R_{0}=sup{|z|mid sum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$は収束する$}$ をベキ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径といい,領域 $|z|<R_{0}$ を収束円盤といいます.

つまり,$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ は $|z|<R_{0}$ なら収束し,$|z|>R_{0}$ なら発散します.

 

ベキ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ の収束半径 $R_{0}$ は,$displaystyle R_{0}=liminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ で求められます.

まず $displaystyle R_{0}leqliminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$|z|<R_{0}$ とすると $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ が収束するので ${a_{n}z^{n}}_{ninmathbb{N}}$ は有界で,ある $M>0$ が存在して任意の $ninmathbb{N}$ でegin{eqnarray}|a_{n}z^{n}|&<&Mend{eqnarray}となります.このときegin{eqnarray}|a_{n}|^{-1/n}&>&M^{-1/n}|z|end{eqnarray}となるのでegin{eqnarray}displaystyleliminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}&>&liminf_{n oinfty}M^{-1/n}|z|=|z|end{eqnarray} となります.よって $displaystyle R_{0}leqliminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

逆に $displaystyle R_{0}geqliminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ を示します.

$displaystyle|z|<liminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}=sup_{ninmathbb{N}}inf_{k>n}|a_{k}|^{-1/k}$ とすると,ある $n_{0}inmathbb{N}$ が存在して,egin{eqnarray}displaystyle|z|<inf_{k>n_{0}}|a_{k}|^{-1/k}end{eqnarray}となります.このときegin{eqnarray}displaystylesup_{k>n_{0}}|z||a_{k}|^{1/k}<1end{eqnarray}より $displaystylesum_{k>n_{0}}|a_{k}z^{k}|$ は収束します.よって $|z|<R_{0}$ となり,$displaystyle R_{0}geqliminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ です.

 

ベキ級数は収束円盤の内部では必ず収束し収束円盤の外部では必ず発散しますが,円周上では収束したり発散したり時と場合によっていろいろです.

たとえば $displaystyle a_{n}=frac{1}{n}$ のベキ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}frac{z^{n}}{n}$ の収束半径はegin{eqnarray}displaystyle R_{0}&=&liminf_{n oinfty}left(frac{1}{n} ight)^{-1/n}&=&1end{eqnarray}ですが,$z=1$ のとき級数は $+infty$ に発散し,$z=-1$ のとき級数は $log 2$ に収束します.

 

 

さて,そろそろディリクレ級数の話を書いていきます.

 

複素数列 ${a_{n}}_{ninmathbb{N}}$ と発散する狭義単調増加実数列 ${lambda_{n}}_{ninmathbb{N}}$ に対して $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s} (sinmathbb{C})$ をディリクレ級数といいます.(普段複素数は $z=x+iy$ と書きますが,ディリクレ級数を考えるときは $s=σ+it$ と書くことが多いらしいです.)

 

$lambda_{n}=n$ のときは,$z=e^{-s}$ とおくとディリクレ級数はベキ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ となります. 

このベキ級数の収束半径を $R_{0}$ とし,$σ_{0}=logfrac{1}{R_{0}}$ とおいてみましょう.

$|z|=|e^{-s}|=|e^{-σ}|$ なので,$mathrm{Re}(s)>σ_{0}$ なら $|z|<R_{0}$ となり級数は収束します.

逆に $mathrm{Re}(s)<σ_{0}$ なら $|z|>R_{0}$ となり級数は発散します.

($mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ のときは $|z|=R_{0}$ なので時と場合によっていろいろです.)

このように,ディリクレ級数を考えると,ベキ級数の収束円盤の円周 $|z|=R_{0}$ は $mathrm{Re}(s)=σ_{0}$ という軸のような形になります.

 

一般にディリクレ級数には,ベキ級数の収束半径と似たような収束軸と呼ばれるものがあります.

 

まず,$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ が $s=s_{0}=σ_{0}+it_{0}$ で収束するときこの級数が領域 $D_{0}:={sinmathbb{C}midmathrm{Re}(s)>σ_{0}}$ でコンパクト一様収束することを示します.

$a_{n}e^{-lambda_{n}(s_{0}}$ を改めて $a_{n}$ とおけばいいので,$s_{0}=0$ のときを示せば十分です.

$varepsilon>0$ に対して $displaystyle D_{varepsilon}:={sinmathbb{C}mid|arg s|geqfrac{pi}{2}-varepsilon}$ とおくと,任意のコンパクト集合 $Ksubset D_{0}$ に対してある $varepsilon>0$ で $Ksubset D_{varepsilon}$ となります.($K$ は有界閉だから.)

よって,任意の $varepsilon>0$ に対して $D_{varepsilon}$ で $displaystylesum_{ninmathbb{C}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ が一様収束することを示せば十分です.

$|arg s|= heta$ とおくと $displaystyle hetageqfrac{pi}{2}-varepsilon$ よりある $C>0$ で $displaystylefrac{1}{cos heta}<C$ つまり $displaystylefrac{|s|}{σ}<C$ となります.

また,$displaystylesum_{ninmathbb{C}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ は $s=0$ である $Sinmathbb{C}$ に収束するので,ある $N_{0}inmathbb{N}$ が存在し,$N>N_{0}$ なら $displaystyleleft|sum_{ninmathbb{N}}a_{n}-S ight|<frac{varepsilon}{2(C+1)}$ となります.

この $N_{0}$ に対して,$N>M>N_{0}$ なら 

egin{eqnarray}displaystyleleft|sum_{nleq N}a_{n}e^{-lambda_{n}s}-sum_{nleq M}a_{n}e^{-lambda_{n}s} ight|&=&left|sum_{M<nleq N}a_{n}e^{-lambda_{n}s} ight|&=&left|sum_{M<nleq N}left(sum_{M<kleq n}a_{k}-sum_{M<k<n}a_{k} ight)e^{-lambda_{n}s} ight|&=&left|sum_{M<nleq N}sum_{M<kleq n}a_{k}e^{-lambda_{n}s}-sum_{M<nleq N}sum_{M<k<n}a_{k}e^{-lambda_{n}s} ight|&=&left|sum_{M<nleq N-1}sum_{M<kleq n}a_{k}left(e^{-lambda_{n}s}-e^{-lambda_{n+1}s} ight)+sum_{M<kleq N}a_{k}e^{-lambda_{N}s} ight|&leq&sum_{M<nleq N-1}left|sum_{M<kleq n}a_{k} ight|left|e^{-lambda_{n}s}-e^{-lambda_{n+1}s} ight|+left|sum_{M<kleq N}a_{k} ight|left|e^{-lambda_{N}s} ight|&=&sum_{M<nleq N-1}left|sum_{kleq n}a_{k}-sum_{kleq M}a_{k} ight|left|int_{lambda_{n}}^{lambda_{n+1}}se^{-xs}dx ight|+left|sum_{kleq n}a_{k}-sum_{kleq M}a_{k} ight|e^{-lambda_{N}σ}&leq&sum_{M<nleq N-1}left(left|sum_{kleq n}a_{k}-S ight|+left|S-sum_{kleq M}a_{k} ight| ight)left|int_{lambda_{n}}^{lambda_{n+1}}se^{-xs}dx ight|+left(left|sum_{kleq N}a_{k}-S ight|+left|S-sum_{kleq M}a_{k} ight| ight)e^{-lambda_{N}σ}&<&sum_{M<nleq N-1}left(frac{varepsilon}{2(C+1)}+frac{varepsilon}{2(C+1)} ight)left|int_{lambda_{n}}^{lambda{n+1}}se^{-xs}dx ight|+left(frac{varepsilon}{2(C+1)}+frac{varepsilon}{2(C+1)} ight)e^{-lambda{N}σ}&=&frac{varepsilon}{C+1}left(sum_{M<nleq N-1}left|int_{lambda_{n}}^{lambda_{n+1}}se^{-xs}dx ight|+e^{-lambda_{N}σ} ight)&leq&frac{varepsilon}{C+1}left(sum_{M<nleq N-1}int_{lambda_{n}}^{lambda_{n+1}}left|se^{-xs} ight|dx+e^{-lambda_{N}σ} ight)&=&frac{varepsilon}{C+1}left(sum_{M<nleq N-1}int_{lambda_{n}}^{lambda_{n+1}}|s|e^{-xσ}dx+e^{-lambda_{N}σ} ight)&=&frac{varepsilon}{C+1}left(sum_{M<nleq N-1}frac{|s|}{σ}left(e^{-lambda{n}σ}-e^{-lambda_{n+1}σ} ight)+e^{-lambda_{N}σ} ight)&=&frac{varepsilon}{C+1}left(frac{|s|}{σ}left(e^{-lambda_{M+1}σ}-e^{-lambda_{N}σ} ight)+e^{-lambda{N}σ} ight)&<&frac{varepsilon}{C+1}left(Cleft(e^{-lambda_{M+1}σ}-e^{-lambda_{N}σ} ight)+e^{-lambda_{N}σ} ight)&<&frac{varepsilon}{C+1}left(Ce^{-lambda_{M+1}}σ+e^{-lambda_{N}σ} ight)&<&frac{varepsilon}{C+1}left(Ce^{-lambda_{N_{0}}σ}+e^{-lambda_{N_{0}}σ} ight)&=&varepsilon e^{-lambda_{N_{0}}σ}&<&varepsilonend{eqnarray}

となるので,$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ は $D_{varepsilon}$ で一様収束します.

 

そこで,$displaystyle A:={mathrm{Re}(s)midsum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$は収束する$}$ に対して $A=emptyset$ なら $σ_{0}:=+infty$ とし $A eqemptyset$ なら $σ_{0}:=inf A$ とし,この $σ_{0}$ をディリクレ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ の収束軸といいます.

つまり,ディリクレ級数$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}e^{-lambda_{n}s}$ は $σ>σ_{0}$ なら収束し,$σ<σ_{0}$ なら発散します.

 

 

さて,$lambda_{n}=log n$ のディリクレ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ を通常ディリクレ級数といいます.

 

通常ディリクレ級数 $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸は $displaystyle σ_{0}=limsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}$ で求められます.

まず $displaystyle σ_{0}geqlimsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}$ を示します.

$σ_{0}=0$ としてよく,$σ>0$ なる $σ$ を任意にとります.

$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束するので有界で,ある $C>0$ が存在して任意の $Ninmathbb{N}$ で

egin{eqnarray}displaystyleleft|sum_{nleq N}a_{n}n^{-σ} ight|<Cend{eqnarray}

となります.よって,任意の $Ninmathbb{N}$ で

egin{eqnarray}displaystyleleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|&=&left|sum_{nleq N}left(a_{n}n^{-σ} ight)n^{σ} ight|&=&left|sum_{nleq N}left(sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ}-sum_{kleq n-1}a_{k}k^{-σ} ight)n^{σ} ight|&=&left|sum_{nleq N}sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-sum_{nleq N}sum_{kleq n-1}a_{k}k^{-σ}n^{σ} ight|&=&left|sum_{nleq N}sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ}n^{σ}-sum_{nleq N-1}sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ}(n+1)^{σ} ight|&=&left|sum_{nleq N-1}sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ}left(n^{σ}-(n+1)^{σ} ight)+sum_{kleq N}a_{k}k^{-σ}N^{σ} ight|&leq&sum_{nleq N-1}left|sum_{kleq n}a_{k}k^{-σ} ight|left((n+1)^{σ}-n^{σ} ight)+left|sum_{kleq N}a_{k}k^{-σ} ight|N^{σ}&<&sum_{nleq N-1}Cleft((n+1)^{σ}-n^{σ} ight)+CN^{σ}&=&C(N^{σ}-1^{σ})+CN^{σ}&<&2CN^{σ}end{eqnarray}

より

egin{eqnarray}displaystylefrac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}&<&frac{log 2C}{log N}+σend{eqnarray}

となり

egin{eqnarray}displaystylelimsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}&leq&limsup_{N oinfty}left(frac{log 2C}{log N}+σ ight)&=&σend{eqnarray}

となります.よって $displaystylelimsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}leq σ_{0}$ です.

逆に $displaystyle σ_{0}leqlimsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}$ を示します.

$displaystyle σ>limsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}=inf_{Ninmathbb{N}}sup_{kgeq N}frac{logleft|sum_{nleq k}a_{n} ight|}{log k}$ とします.

$displaystyleinf_{Ninmathbb{N}}sup_{kgeq N}frac{logleft|sum_{nleq k}a_{n} ight|}{log k}<alpha<σ$ なる $alpha$ を任意にとると,任意の $Ninmathbb{N}$ で

egin{eqnarray}displaystylefrac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}&leq&alphaend{eqnarray}

より

egin{eqnarray}displaystyleleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|&leq&N^{alpha}end{eqnarray}

です.さて,任意の $Ninmathbb{N}$ で

egin{eqnarray}displaystylesum_{nleq N}a_{n}n^{-σ}&=&sum_{nleq N-1}sum_{kleq n}a_{k}left(n^{-σ}-(n+1)^{-σ} ight)+sum_{kleq N}a_{k}N^{-σ}&=&sum_{nleq N}sum_{kleq n}a_{k}int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx+N^{-σ}sum_{kleq N}a_{k}end{eqnarray}

です.ここで, 

egin{eqnarray}displaystylesum_{nleq N}left|sum_{kleq n}a_{k}int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx ight|&leq&sum_{nleq N}left|sum_{kleq n}a_{k} ight|int_{n}^{n+1}left|σx^{-σ-1} ight|dx&=&|σ|sum_{nleq N}left|sum_{kleq n}a_{k} ight|int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx&leq&|σ|sum_{nleq N}n^{alpha}int_{n}^{n+1}x^{-σ-1}dx&leq&|σ|sum_{nleq N}n^{alpha}int_{n}^{n+1}n^{-σ-1}dx&=&|σ|sum_{nleq N}n^{alpha-σ-1}&<&|σ|left(1+int_{1}^{N}x^{alpha-σ-1}dx ight)&=&|σ|left(1+frac{1-N^{alpha-σ}}{σ-alpha} ight)&<&|σ|left(1+frac{1}{σ-alpha} ight)end{eqnarray} 

より $displaystylesum_{ninmathbb{N}}sum_{kleq n}a_{k}int_{n}^{n+1}σx^{-σ-1}dx$ は絶対収束します.また,

egin{eqnarray}displaystyleleft|leq N^{-σ}sum_{kleq N}a_{k} ight|&leq&N^{-σ}sum_{kleq N}|a_{k}|&leq&N^{-σ}N^{alpha}&=&N^{alpha-σ}end{eqnarray}

で $alpha-σ<0$ なので

egin{eqnarray}displaystylelim_{N oinfty}left|N^{-σ}sum_{kleq N}a_{k} ight|=0end{eqnarray}

となります.よって $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{0}$ となります.つまり $displaystyle σ_{0}leqlimsup_{N oinfty}frac{logleft|sum_{nleq N}a_{n} ight|}{log N}$ です.

 

さて,ベキ級数のときは $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}z^{n}$ と $displaystylesum_{ninmathbb{N}}|a_{n}|z^{n}$ の収束半径はどちらも $displaystyle R_{0}=liminf_{n oinfty}|a_{n}|^{-1/n}$ で同じでしたが,通常ディリクレ級数の収束軸は $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ と $displaystylesum_{ninmathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ とでズレる場合もあります.

たとえば,リーマンのゼータ関数 $displaystylezeta(s)=sum_{ninmathbb{N}}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=1$ ですが,その交代級数 $sum_{ninmathbb{N}}(-1)^{n-1}n^{-s}$ の収束軸は $σ_{0}=0$ です.

 

しかし,係数に絶対値をつけても収束軸はせいぜい正の方向に $1$ までしかズレません.

つまり, $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-s}$ の収束軸を $σ_{0}$,$displaystylesum_{ninmathbb{N}}|a_{n}|n^{-s}$ の収束軸を $σ_{1}$ とすると

egin{eqnarray}σ_{0}leq σ_{1}leq σ_{0}+1end{eqnarray}

となります.

$σ_{0}leq σ_{1}$ はいいので,$σ_{1}leq σ_{0}+1$ を示します.

ここで,$σ_{0}=0$ としてよいので,$σ>1$ なら $σ>σ_{1}$ となることを示します.

$0<alpha<σ-1$ なる $alpha$ を任意にとると,$displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-alpha}$ は収束するので ${a_{n}n^{-alpha}}_{ninmathbb{N}}$ は収束し有界で,ある $C>0$ が存在し任意の $ninmathbb{N}$ で

egin{eqnarray}left|a_{n}n^{-alpha} ight|<Cend{eqnarray}

となります. このとき

egin{eqnarray}|a_{n}|n^{-σ}<Cn^{alpha-σ}end{eqnarray}

となるので,

egin{eqnarray}displaystylesum_{ninmathbb{N}}|a_{n}|n^{-σ}&leq&sum_{ninmathbb{N}}Cn^{alpha-σ}&=&Czeta(σ-alpha)end{eqnarray}

となります.ここで $zeta(s)$ の収束軸は $σ_{0}=1$ で $σ-alpha>1$ なので,$zeta(σ-alpha)$ は収束します.よって $displaystylesum_{ninmathbb{N}}a_{n}n^{-σ}$ は収束し,$σ>σ_{1}$ となります.

 

 

こんな感じで,ディリクレ級数とベキ級数は似たような性質もあるしびみょーに異なった性質もあっておもしろいです. 

 

以上,最近おもしろいと思った話でした.

 

 

参考文献

D.B.ザギヤー (1990)『数論入門-ゼータ関数と2次体-』(片山孝次訳) 岩波書店. 

 

 

夕方からは、空模様が怪しくなりそうなので、午前中は下の子と公園へ。

 

ツツジかな?

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てんとう虫

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藤棚の藤も綺麗です。
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 ひととき、和みます。

こんな平凡な日常がありがたい。